不少修讀 A Level 數學的學生，一見詳解就覺得眼熟。代數看起來熟悉，公式也說得通，最後的答案看起來也不複雜。換一道新題，卻仍然不知道從哪裡開始。在香港修讀 A Level 數學的學生，包括身在香港、應考英國課程的學生，都常在這裡停下來：方法已經學過，題目卻沒有寫明該用哪一個。
這個缺口往往不單在計算，也在於選擇方法。學生可能懂得微分、解方程，或使用某個概率模型，卻看不出眼前的資料該由哪一個概念連起來。溫習時，要讓學生把這個選擇說出來。
分開三件事：能否記起、能否選對、能否做對
至少可以問三個問題。學生能否記起相關的數學概念？能否認出它在甚麼時候適用？能否把方法做對，並解釋所得的結果？
一個錯誤答案，並不能說明是哪一個階段出了問題。如果選的方向本身不適合，再算多一頁，也可能把原來的問題蓋住。如果方向合理，但代數中途斷掉，優先處理的可能是更早的一項技能。
選一次近期的獨立作答，請學生解釋第一個決定。不要一開始就拿出完整詳解。往往需要討論的，是最初的選擇，而不是最後一步算術。
先讀懂題目，再決定用哪條公式
寫下題目給了甚麼、要求甚麼、有甚麼限制，然後找出可能把這些連起來的數學關係。
例如，問最大值的題，和問精確根的題，要做的事並不一樣。概率題也要先看情境和假設，而不是因為最近才溫習過某個分佈的公式，就直接選用它。
這段短短的規劃不是浪費時間。它把學生的推理留下來，老師或導師可以檢視；冗長計算開始之前，也可以先發現資料是否不足。
比較兩種都成立的做法
看一道原創例子：一個長方形的周界是 20 單位。它最大的面積可以是多少？
若一邊是 x，另一邊就是 10 − x，面積是 A = x(10 − x)，其中 0 < x < 10。微分得 dA/dx = 10 − 2x。駐點（stationary point）在 x = 5。這條二次曲線開口向下，所以最大面積是 25 平方單位。
用配方法可以得到同一結論：A = 25 − (x − 5)²。平方不會是負數，因此 x = 5 時，面積最大，是 25。
兩種方法都成立。討論為甚麼各自行得通、定義域代表甚麼、為甚麼答案是最大值，比只記住一條路徑更能建立理解。學生也可以藉此練習怎樣選一條較有效率的做法。
用錯誤找出下一步要做的事
| 新題目出現甚麼情況？ | 可能要優先處理的事 |
|---|---|
| 學生找不出一開始的關係 | 理解條件，並建立模型 |
| 方法選對了，但運算失敗 | 代數或數值上的先備知識 |
| 計算正確，卻沒有解釋結果 | 單位、定義域、情境，或題目最後的要求 |
| 方法只在課題被標明時才用得出來 | 混合練習，並辨認題目結構 |
這些是追查時的提示，不是用來長期貼在學生身上的標籤。應多看幾個例子，並用學生自己的解釋，核對這個判斷是否成立。
練習要包括選擇方法
針對某一方法的練習，有助把它練穩；但學生最終需要混合題目。每題開始前，先請他們用一兩句說出打算用的做法，以及為甚麼選它。
做完之後，把計劃和實際過程對照。方法是否行得通？另一條路會不會更短？某個條件有沒有令部分答案不成立？一段簡短的回顧，比再抄一次詳解有用。
稍後可以加入一道情境不同、數學結構卻相近的題。這樣能檢查學生是否明白當中的連繫，而不只是記得某一道例題的樣子。題目應留在實際的考試大綱，以及目前的教學範圍之內。
The Achievers 如何支援數學推理
在 The Achievers，討論如何支援時，會先看學生的作業、課程資料和目標。導師可以用學生的解釋，分辨眼前需要的是概念學習、應試技巧、先補不穩的基礎，還是再做延伸。
如果學生懂得步驟，卻不知道如何起手，課堂可以集中理解條件、比較幾個合理的方法，並說出決定的理由。如果推理清楚，但代數不穩，計劃可以先回到那個基礎。
學術顧問可以把這些優先事項，連上學校進度和學生整體的課業。家庭宜問清楚兩件事：課後要做甚麼獨立練習，以及之後用甚麼證據檢視這個重點是否仍然合適。
常見問題
學生是否應該永遠用最短的方法？
效率重要，考試裡尤其如此，但所選方法必須成立，而且學生自己說得明白。先完成題目，再比較不同做法，不要急着走一條自己解釋不了的捷徑。
看懂一份詳解，是否代表這個課題已經穩固？
這是有用的第一步，但看不出學生能否獨立選擇方法。一道沒有提示的新題，更能顯示學生實際做得到甚麼。
了解 The Achievers 的 A Level 數學支援，並帶一道難以起手的題目，而不只是一道最後答案算錯的題。